Question

菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，则a等于________．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，由四边形ABCD为菱形，得到AB=BC，利用“等边对等角”得到一对角相等，再由OB=OC，同理得到另一对角相等，等量代换得到三角形BOC与三角形ABC两对对应角相等，从而得到两三角形相似，由相似得比例，把对应的长代入即可列出关于a的方程，根据a大于0求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：∵四边形ABCD为菱形，又AO=a，
∴AB=BC=CD=AD=AO=a，
∴∠BAC=∠BCA，
∵OB=OC=OD=1，
∴∠OBC=∠BCA，
∴∠BAC=∠OBC，又∠BCA=∠OCB，
∴△BOC∽△ABC，
∴，即，
化简得：a²-a-1=0．
由a＞0，解得：．
故答案为：
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，以及等腰三角形的性质，是一道代数与几何的综合题．解决这类试题的基本思路是：1、借助图形，分析问题；2、灵活运用数形结合的思想方法，由“形”导“数”，以“数”促“形”，把代数与几何图形的性质，以及计算与证明有机的融合起来，进行分析推理，从而达到解决问题的目的．