Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A′B′C，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′=

 

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Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得AB=2BC=6，再根据旋转的性质得A′B′=AB=6，CB′=CB=3，CA′=CA，∠A′B′C=60°，∠A′=∠BAC=30°，则可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，接着根据三角形外角性质得∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，则可计算出∠B′CA=30°，所以B′A=B′C=3，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=6，
∵△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A′B′C，
∴A′B′=AB=6，CB′=CB=3，CA′=CA，∠A′B′C=60°，∠A′=∠BAC=30°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=3，
∴AA′=AB′+A′B′=3+6=9．
故答案为9．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．