Question

如图，在直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），BE，CD分别为△ABC中AC，AB边上的高，垂足分别为E，D．
（1）当k=-3时，求AB的长；
（2）试说明△DOE是等腰三角形；
（3）k取何值时，△DOE是等边三角形？（直接写出k的值即可）

Answer 1

解：（1）∵点B坐标为（-4，0），当k=-3时，A的坐标为（0，-3），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5；

（2）∵点C与点B关于原点O对称，
∴OB=OC，
∵BE是△ABC中AC边上的高，
∴OE=，
同理OD=，
∴OD=OE，
∴△DOE是等腰三角形；

（3）当△ABC是锐角三角形，点A在y轴的正半轴时，
若△ODE为等边三角形，则∠DOE=60°，
∵∠BOD=∠COE=60°，
∵OD=OB，
∴∠DBO=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AB=2BO=8，
∴OA===4，
∴k=4，
当点A在y轴的负半轴时，
k=-4，
如图：当△ABC是钝角三角形时，
若△ODE为等边三角形，则∠DOE=60°，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠COE=60°，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB=30°，
∴AB=2AO=2|k|，
k²+4²=（2k）²，
k=±；
则k=±或±4．
分析：（1）根据点B坐标为（-4，0），点C与点B关于原点O对称，点A为y轴上一动点，其坐标为（0，k），当k=-3时，求出点A的坐标，再根据勾股定理即可求出AB的长；
（2）根据C与点B关于原点O对称，求出OB=OC，再根据BE是△ABC中AC边上的高，求出OE和OD的值，从而得出OD=OE，即可得出△DOE是等腰三角形；
（3）分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论，即可得出k的值．
点评：此题考查了等边三角形的判定，用到的知识点是坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理，熟练掌握有关定义和性质是本题的关键．