Question

已知直线l与⊙O交于不同的两点E，F，CD是⊙O的直径，CA⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，试问在线段AB上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与以点P，B，D为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若l与直径CD不相交，如图所示，

（i）作OH⊥AB于H，易得AE=BF，此时△ACE∽△BED，△AFC∽△BDF，
则E，F为满足的点，故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6
（ii）若除E，F外还存在点P使△APC∽△BPD，设AC=x，BD=y，则y-x=1，
∵Rt△ACE∽Rt△BED，故，得xy=6
于是x=2，y=3或x=-3，y=-2（舍去）
∵△APC∽△BPD，故，即，解得AP=，
故存在第三个满足条件的点P，且AP=．
综合（i），（ii），满足条件的点有三个，AP的长分别为1，6，．

（2）若l与直径CD相交，且交点为Q，如图
（i）由∠AQC=∠DQB，得Rt△ACQ∽Rt△BDQ，则点Q为满足条件的点，
设AC=x，BD=y，则y-x=1，
又∠DEB=∠ECA，则Rt△ACE∽Rt△BED，
故，得xy=8，
于是，x=，y=或x=，y=（舍去）
∵Rt△ACQ∽Rt△BDQ，∴，解得AQ=．
（ii）若除Q外，还存在点P，使△APC∽△BDP，则，
整理得AP²-7AP+8=0，解得AP=．
综合（i），（ii），满足条件的点P有三个，AP的长分别为，，．
所以，综合（1）（2）可得，满足条件的点共有6个．AP的长度为：
1，6，，，，．
分析：由题意可知直线l可能与CD相交，也可能不相交，所以应结合题意，分类讨论．
（1）当l与直径CD不相交时，（i）作OH⊥AB于H，可证其相似，（ii）当除E，F外还存在点P使△APC∽△BPD，可设AC=x，BD=y，则y-x=1，进而求解．
（2）当l与直径CD相交时，其交点Q满足条件，然后再计算除Q点外是否还存在点P，可假设其存在，然后再结合题意进行求解，再验证假设是否成立即可．
点评：熟练掌握圆的性质及判定，能够运用圆的性质求解一些实际问题，会对问题进行分类讨论．