Question

如图AB是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是的中点，P是直径AB上的一动点，⊙O的半径为1，则PC+PD的最小值为

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：作D关于AB的对称点E，则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，作直径EF，连接DP′，CP′CF，
则若P在P′时，DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．
解答：
作D关于AB的对称点E，则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，作直径EF，连接DP′，CP′CF，
则若P在P′时，DP+CP最小，
∵C是半圆上的一个三等分点，D是的中点，
∴∠F=×（60°+30°）=45°，
∵EF为直径，
∴∠ECF=90°，EF=2，
即sin45°=，
∴CE=，
∵D关于AB的对称点E，
∴DP′=EP′，
∴DP+CP=CE，
即DP+CP=，
故选B．
点评：本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．