Question

已知，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）如图，当点F在射线CA上时，
①求证：PF=PE．
②设CF=x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．

Answer 1

（1）
①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PM=PN．
由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°，得∠MPN=90°．
∴∠1+∠FPN=90°．
∵∠2+∠FPN=90°，
∴∠1=∠2．
∴△PMF≌△PNE．
∴PF=PE．
②解：
∵CP=，
∴CN=CM=1．
∵△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=1-x．
∴CE=2-x．
∵CF∥PN，
∴△GCF∽△GNP，
∴．
∴．
∴（0≤x＜1）．

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：
①当点F在射线CA上时，
∵∠GPE=∠FCE=90°，∠1≠∠PEG，
∴∠G=∠1．
∴FG=FE．
∴CG=CE．
在Rt△EGP中，EG=2CP=2．
②当点F在AC延长线上时，
∵∠GPE=∠FCE=90°，∠1≠∠2，
∴∠3=∠2．
∵∠1=45°+∠5，∠1=45°+∠2，
∴∠5=∠2．
易证∠3=∠4，可得∠5=∠4．
∴FC=CP=．
∴FM=1+．
易证△PMF≌△PNE，
可得EN=1+．
∵CF∥PN，
∴．
∴GN=-1．
∴EG=2．
分析：（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，由已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可；
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，②当点F在AC延长线上时，分别讨论求出满足题意的EG长即可．
点评：本题综合性的考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、以及分类讨论思想在几何题目中的运用，题目的难度很大，对学生的解题能力要求很高．