Question

如图，直线y=

1

5

x-1与x轴，y轴分别相交于B、A，点M为双曲线y=

k

x

(x＞0)上的一点，且△AMB是以AB为底的等腰直角三角形．
（1）求A、B两点坐标；
（2）过M点作MC⊥x轴，MD⊥y轴，垂足分别为C、D；求证：△AMD≌△BMC；
（3）求k值；
（4）问双曲线上是否存在一点Q，使

S△OBQ

S△AOQ

=

5

4

？若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线y=

1

5

x-1与x轴，y轴分别相交于B、A，即可求得A、B两点坐标；
（2）由△AMB是以AB为底的等腰直角三角形，可求得AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，易求得∠MAD=∠MBC，即可利用AAS判定：△AMD≌△BMC；
（3）由△AMD≌△BMC，可得AD=BC，DM=CM，即可得OC=OD，又由OA=1，OB=5，即可求得点M的坐标，继而求得k的值；
（4）首先设点Q的坐标为（x，

4

x

），根据题意即可用x表示出△OBQ与△AOQ的面积，又由

S△OBQ

S△AOQ

=

5

4

，即可求得Q点坐标．

解答：解：（1）∵直线y=

1

5

x-1与x轴，y轴分别相交于B、A，
∴当x=0时，y=-1；当y=0时，x=5，
∴A点坐标的坐标为（0，-1），B点坐标为（5，0）；

（2）∵△AMB是以AB为底的等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°，
∴∠MAD+∠OBA=45°，
∵∠MBC+∠OBA=45°，
∴∠MAD=∠MBC，
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
在△AMD和△BMC中，

∠MAD=∠MBC ∠ADM=∠BCM AM=BM

，
∴△AMD≌△BMC（AAS）；

（3）∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四边形OCMD是矩形，
∵△AMD≌△BMC，
∴AD=BC，DM=CM，
∴四边形OCMD是正方形，
∴OC=OD，
∵OA=1，OB=5，
设OD=x，
则AD=x+1，BC=5-x，
∵AD=BC，
∴x+1=5-x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴点M的坐标为：（2，2），
∴k=xy=4；

（4）存在．
∵k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=

4

x

，
设Q点的坐标为：（a，

4

a

），
∴S_△OBQ=

1

2

•OB•

4

a

=

1

2

×5×

4

a

=

10

a

，S_△AOQ=

1

2

•OA•a=

1

2

×1×a=

1

2

a，
∵

S△OBQ

S△AOQ

=

5

4

，
∴4S_△OBQ=5S_△AOQ，
即4×

10

a

=5×

1

2

a，
解得：a=±4，
∵a＞0，
∴a=4，
∴Q点的坐标为（4，1）．

点评：此题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．