Question

已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP=

5

，AB=

1

3

BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD=PM，求证：AC=AP+PN．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求出AC，设AB=x，BC=3x，在Rt△ABC中根据勾股定理求出，求出AB、BC、即可求出答案；
（2）延长AP，CD交于Q，求出∠1=∠2，∠3=∠4，根据ASA证△APM≌△CPD，得出DP=PM=CD，求出∠Q=∠6，推出AC=AQ=AP+PQ，根据AS证△APN≌△CPQ，推出PQ=PN，即可得出答案．

解答：（1）解：∵AP⊥CP且AP=CP，
∴△APC为等腰直角三角形，
∵AP=

5

，
∴AC=

10

，
∵AB=

1

3

BC，
∴设AB=x，BC=3x，
∴在Rt△ABC中，
x²+（3x）²=10，
10x²=10，
x=1，
∴S_ABCD=AB•BC=1×3=3；

（2）解：延长AP，CD交于Q，
∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=90°，
且∠CND=∠ANP，
∴∠1=∠2，
又∠3+∠5=∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
在△APM和△CPD中
∵

∠1=∠2 AP=CP ∠3=∠4

，
∴△APM≌△CPD（ASA），
∴DP=PM，
又∵CD=PM，
∴CD=PD，
∴∠1=∠4=∠3，
∵∠1+∠Q=∠3+∠6=90°
∴∠Q=∠6
∴DQ=DP=CD
∴D为CQ中点，
又∵AD⊥CQ
∴AC=AQ=AP+PQ，
在△APN和△CPQ中
∵

∠1=∠2 AP=CP ∠APC=∠CPQ

，
∴△APN≌△CPQ（ASA），
∴PQ=PN
∴AC=AP+PQ=AP+PN．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线定理等知识点，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．