Question

3．如图，已知AB=5，tanB=$\frac{4}{3}$，点P是射线BC上的一个动点（不与点B重合），作∠APD=∠B交射线AB于点D．
（1）若PD⊥AB，求BP的长；
（2）当点D在边AB上，且不与点B重合时，设BP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）设AP=4k，根据正切的定义用k表示出BP，根据勾股定理求出AB，根据题意计算即可；
（2）作AE⊥BC于E，根据相似三角形的性质列出比例式，得到y关于x的函数关系式；
（3）分点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答．

解答 解：（1）∵PD⊥AB，∠APD=∠B，
∴∠APB=90°，
设AP=4k，∵tanB=$\frac{4}{3}$，
∴BP=3k，
由勾股定理得，AB=5k，
∵AB=5，
∴k=1，
则BP=3k=3；
（2）作AE⊥BC于E，
∵AB=5，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴AE=4，BE=3，
则PE=x-3，
由勾股定理得，AP=$\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+16}$，
∵∠APD=∠B，∠PAB=∠PAB，
∴△APD∽△ABP，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AD}{AP}$，即（x-3）²+16=（5-y）×5，
整理得，y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x（0＜x＜6）；
（3）当点D在线段AB上，BP=BD时，x=y，
即x=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x，
解得，x=1；
DP=BD时，作DG⊥BP于G，
则BG=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{\frac{1}{2}BG}{BD}$=$\frac{3}{5}$，则y=$\frac{5}{6}$x，
由题意得，$\frac{5}{6}$x=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x，
解得，x₁=0（舍去），x₂=$\frac{11}{6}$；
当DP=BP时，$\frac{\frac{1}{2}y}{x}$=$\frac{3}{5}$，
解得，y=$\frac{6}{5}$x，
则$\frac{6}{5}$x=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x，
解得，x=0；
如图3，当点D在线段AB的延长线上时，
作PQ⊥AB交BA的延长线于Q，
设PQ=4k，则QB=3k，
由勾股定理得，PB=5k，则BD=5k，AQ=3k-5，
∵∴△APD∽△ABP，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AD}{AP}$，即AP²=AD•AB，
∴（4k）²+（3k-5）²=5×（5+5k），
解得，k=$\frac{11}{5}$，
则PB=5k=11，
综上所述，当BP=1、$\frac{11}{6}$、$\frac{11}{5}$时，△BDP是等腰三角形．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．