Question

16．计算$\frac{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}}{\frac{1}{20{1}^{2}-{1}^{2}}+\frac{1}{20{2}^{2}-{2}^{2}}+…\frac{1}{30{0}^{2}-10{0}^{2}}}$的值为（　　）

• A． 100
• B． 200
• C． 300
• D． 400

Answer 1

分析 通过有理数的计算可得出分子=$\frac{1}{101}$+$\frac{1}{102}$+…+$\frac{1}{200}$、分母=$\frac{1}{400}$（$\frac{1}{101}$+$\frac{1}{102}$+…+$\frac{1}{200}$），将其代入原分式中即可得出结论．

解答 解：分子=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{200}$，
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{200}$-2×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{200}$），
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{200}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$），
=$\frac{1}{101}$+$\frac{1}{102}$+…+$\frac{1}{200}$；
分母=$\frac{1}{（201+1）（201-1）}$+$\frac{1}{（202+2）（202-2）}$+…+$\frac{1}{（300+100）（300-100）}$，
=$\frac{1}{200×202}$+$\frac{1}{200×204}$+…+$\frac{1}{200×400}$，
=$\frac{1}{400}$（$\frac{1}{101}$+$\frac{1}{102}$+…+$\frac{1}{200}$）．
∴原式=$\frac{分子}{分母}$=$\frac{1}{\frac{1}{400}}$=400．
故选D．

点评 本题考查了有理数的混合运算以及规律型中数字的变化类，通过有理数的混合运算找出分子、分母间的关系是解题的关键．