Question

如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q沿折线CB-BA向点A做匀速运动．
（1）菱形ABCD的边长为______；
（2）若点Q的速度为每秒2个单位长，设运动时间为t秒．
①求△APQ的面积S关于t的函数关系式；
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）若点Q的速度为每秒a个单位长（a≤），当t=4秒时，△APQ是等腰三角形，请直接写出a的值．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB===5；

（2）①当0＜t≤时，由题意，得AP=t，点Q在BC上运动，
如图1，过点B作BE⊥AD，垂足为E，
∵AC=8，BD=6，
∴AD•BE=AC•BD，
由题意可得BE=，
∴S=AP•BE，即S=t；
②当≤t＜5时，点Q在BA上运动，
由题意，得AP=t，AQ=10-2t．
如图2，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE，
∴△AQG∽△ABE，
∴=，
∴QG=-，
∴S=AP•QG，
即S=-t²+t（）（≤t＜5）．
当0≤t＜时，S=t•4
当t=时，S的最大值为6；
当≤t＜5时，S=-t²+t，即S=-（t-）²+6．
∴当t=时，S的最大值为6．
综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为6．

（3）a=．
∵a≤，
∴点Q在CB上，
由题意可知PQ≥BE＞PA，
∴当QA=QP时，△APQ是等腰三角形．
如图3，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点F，
则AM=AP=2．由△AMF∽△AOD∽△CQF，
得===，
∴FM=，
∴QF=MQ-FM=，
∴CQ==．
则=，
∴a==．

分析：（1）根据菱形的性质可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，再根据勾股定理即可求出菱形的边长；
（2）①当0＜t≤时，由题意，得AP=t，点Q在BC上运动，过点B作BE⊥AD，垂足为E，由直角三角形的性质求出BE的长，由三角形的面积公式可得到S与t的关系式；
②当≤t＜5时，点Q在BA上运动，由题意，得AP=t，AQ=10-2t，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的对应边成比例即可得出S关于t的关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答即可；
（3）先判断出等腰三角形的两腰长，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点F，根据△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，进而可得出a的值．
点评：本题考查的是相似三角形的性质、菱形的性质、二次函数的最值及等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．