Question

12．如图，菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，若AC=m，BD=n．
（1）求证：S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$mn；
（2）若菱形ABCD的周长为60，m+n=42．求S_菱形ABCD．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，可得S_△ACB=$\frac{1}{2}$•AC•OB，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•AC•DO，推出S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•OB+$\frac{1}{2}$•AC•OD=$\frac{1}{2}$•AC（OB+OD）=$\frac{1}{2}$•AC•BD即可证明；
（2）利用勾股定理构建方程组，求出mn的值即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$•AC•OB，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•AC•DO，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•OB+$\frac{1}{2}$•AC•OD=$\frac{1}{2}$•AC（OB+OD）=$\frac{1}{2}$•AC•BD，
∵AC=m，BD=n，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$mn；

（2）∵菱形ABCD的周长为60，
∴AB=15，
则有$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}m）^{2}+（\frac{1}{2}n）^{2}=1{5}^{2}}\\{m+n=42}\end{array}\right.$，由此可得mn=432，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$mn=216．

点评 本题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的面积等、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会用分割法求四边形面积，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．