Question

已知一次函数y₁＝2x，二次函数y₂＝x²＋1．

(Ⅰ)根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y₁，y₂，并填在表格中：

(Ⅱ)观察第(Ⅰ)问表中有关的数据，证明如下结论；在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≤y₂均成立；

(Ⅲ)试问，是否存在二次函数y₃＝ax²＋bx＋c，其图象经过点(－5，2)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)填表如下： 　　(Ⅱ)证明：∵y1－y2＝2x－(x2＋1) 　　＝－x2＋2x－1 　　＝－(x－1)2≤0 　　∴当自变量x取任意实数时，y1≤y2均成立． 　　(Ⅲ)解：由已知，二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－5，2)，得 　　25a－5b＋c＝0．　　　① 　　∵当x＝1时，y1＝y2＝2，y3＝a＋b＋c， 　　若对于自变量x取任意实数时，y1≤y3≤y2成立，则有2≤a＋b＋c≤2， 　　∴a＋b＋c＝2．　　　　② 　　由①②，得b＝4a，c＝2－5a， 　　∴y3＝ax2＋4ax＋(2－5a)． 　　当y1≤y3时，有 　　2x≤ax2＋4ax＋(2－5a)， 　　即ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0， 　　若二次函数y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须 　　思路点拨：(Ⅰ)根据函数的对应关系通过计算，得出结果，直接填表． 　　(Ⅱ)只须证明对于任意的x∈R，y1≤y2恒成立即可． 　　(Ⅲ)由y1≤y3≤y2及(Ⅰ)表知y1，y2，y3均须通过点(1，2)． 　　这样y3的图象通过两点(1，2)及(－5，2)，从而可得出两个关于a、b、c的关系式．于是b、c均可用a的代数式表示出来．再由不等式组y1≤y3≤y2确定a的值，从而可使问题获解． 　　评注：问题(Ⅲ)是利用已知条件和隐含条件求二次函数解析式问题，隐含条件y1，y2，y3均通过点(1，2)的挖掘是解决问题的关键．事实上，如果将y1＝2x及y2＝x2＋1的图象画出，y1与y2必须有一个公共点(1，2)，而满足y1≤y3≤y3应也必通过这一点，从而可使问题的获解心中有数(如下图)．