Question

如图长为2的线段PQ在x的正半轴上，从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x²交于点P′、Q′．
（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；
（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．

Answer 1

分析：（1）首先假设直线OP′的函数解析式为y=mx．
根据P′点为抛物线y=x²与直线OP′的交点，联立求得m的值．
（2）根据题意用k表示P、Q、R、Q′的坐标，再用k分别表示出三角形P'Q'R的面积，以及梯形PP'Q'R的面积，由面积关系列方程解得k的值，即为所求．

解答：解：（1）设直线OP′的函数解析式为y=mx．
∵点P的坐标为（k，0），P′的横坐标与P相同，且P′在抛物线y=x²上
∴P′的纵坐标y=k²
∴k²=mk，即m=k
∴直线OP′的函数解析式为y=kx

（2）由（1）知点P′的坐标为（k，k²）
∵PQ=2
∴点Q′的坐标为（k+2，（k+2）²），则R点的坐标为（k，k（k+2））
∵S梯形P′RQP=

1

2

(P′P+QR)•PQ，S△P′Q′P=

1

2

Q′R•PQ，直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分
∴

1

2

(P′P+QR)•PQ=

1

2

Q′R•PQ，即P′P+QR+Q′R=QQ′-QR
∴QQ′-P′P=2QR?（k+2）²-k²=2k（k+2）
解得k=

2

或-

2

（不合题意舍去）
∴k=

2

答：（1）直线OP′的函数解析式为y=kx；
（2）k=

2

．

点评：本题着重考查了二次函数、正比例函数、梯形的面积、三角形的面积等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（2）中用k表示P、Q、R、Q′的坐标，是解题的关键．