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23、两个边长不定的正方形ABCD与AEFG如图1摆放,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定角度.
(1)若点E落在BC边上(如图2),试探究线段CF与AC的位置关系并证明;
(2)若点E落在BC的延长线上时(如图3),(1)中结论是否仍然成立?若不成立,请说明理由;若成立,加以证明.
分析:(1)如图,过E作EM⊥CB于E交AC与M,而AE⊥EF,由此得到∠AEF=90°,根据同角的余角相等可以得到∠AEM=∠CEF,又AC是正方形的对角线,由此得到∠ACE=45°,接着得到CE=ME,而AE=EF,由此即可证明△AEM≌△FEC,然后全等三角形的性质即可解决问题;
(2)若点E落在BC的延长线上时(如图3),(1)中结论仍然成立;过F作FH⊥BC,交BC的延长线于H;首先证△FEH≌△EAB,可得到EH=AB,FH=BE;注意上面两条相等的线段,即EH=AB=BC,FH=BE=BC+CE?FH=EH+CE=CH,即∠FCH=45°,然后根据∠ACB的度数,即可得到AC、CF的位置关系.
解答:解:(1)如图,过E作EM⊥CB于E交AC与M,
而AE⊥EF,
∴∠AEF=90°,
∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF,
∴∠AEM=∠CEF,
又AC是正方形的对角线,
∴∠ACE=45°,
∴CE=ME,
而AE=EF,
∴△AEM≌△FEC,
∴∠CFE=∠CAE,
而∠ANE=∠CNF,
∴∠ACF=∠AEF=90°,
即CF⊥AC;
(2)若点E落在BC的延长线上时(如图3),(1)中结论是否仍然成立.
过F作FH⊥BC,交BC的延长线于H,
∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形,
∴∠AEF=∠B=∠EHF=90°,AE=EF,
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90°,
∴∠BAE=∠FEH,
∴△FEH≌△EAB,
∴EH=AB,FH=BE,
即EH=AB=BC,
FH=BE=BC+CE,
∴FH=EH+CE=CH,
即∠FCH=45°,而∠ACB=45°,
∴AC⊥CF.
点评:此题比较难,通过作辅助线构造全等三角形,然后利用正方形的性质证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质即可解决问题.解题的关键是如何作辅助线,两个小题的辅助线相似地方都是通过作垂线构造等腰直角三角形,为全等三角形创造全等条件.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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