Question

23、两个边长不定的正方形ABCD与AEFG如图1摆放，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定角度．
（1）若点E落在BC边上（如图2），试探究线段CF与AC的位置关系并证明；
（2）若点E落在BC的延长线上时（如图3），（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，加以证明．

Answer 1

分析：（1）如图，过E作EM⊥CB于E交AC与M，而AE⊥EF，由此得到∠AEF=90°，根据同角的余角相等可以得到∠AEM=∠CEF，又AC是正方形的对角线，由此得到∠ACE=45°，接着得到CE=ME，而AE=EF，由此即可证明△AEM≌△FEC，然后全等三角形的性质即可解决问题；
（2）若点E落在BC的延长线上时（如图3），（1）中结论仍然成立；过F作FH⊥BC，交BC的延长线于H；首先证△FEH≌△EAB，可得到EH=AB，FH=BE；注意上面两条相等的线段，即EH=AB=BC，FH=BE=BC+CE?FH=EH+CE=CH，即∠FCH=45°，然后根据∠ACB的度数，即可得到AC、CF的位置关系．

解答：解：（1）如图，过E作EM⊥CB于E交AC与M，
而AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF，
∴∠AEM=∠CEF，
又AC是正方形的对角线，
∴∠ACE=45°，
∴CE=ME，
而AE=EF，
∴△AEM≌△FEC，
∴∠CFE=∠CAE，
而∠ANE=∠CNF，
∴∠ACF=∠AEF=90°，
即CF⊥AC；
（2）若点E落在BC的延长线上时（如图3），（1）中结论是否仍然成立．
过F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=∠B=∠EHF=90°，AE=EF，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠BAE=∠FEH，
∴△FEH≌△EAB，
∴EH=AB，FH=BE，
即EH=AB=BC，
FH=BE=BC+CE，
∴FH=EH+CE=CH，
即∠FCH=45°，而∠ACB=45°，
∴AC⊥CF．

点评：此题比较难，通过作辅助线构造全等三角形，然后利用正方形的性质证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质即可解决问题．解题的关键是如何作辅助线，两个小题的辅助线相似地方都是通过作垂线构造等腰直角三角形，为全等三角形创造全等条件．