Question

5．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AD=1，AA₁=2，P是棱A₁B₁上任意一点，Q是侧面对角线AB₁上一点，则PD₁+PQ的最小值是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 1+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 将正方形展开，取A₁B₁C₁D₁及ABB₁A₁两个面，过点D₁作D₁Q⊥AB₁于点Q，D₁Q交A₁B₁于点P，此时PD₁+PQ取最小值D₁Q，由正方形的性质可得出∠D₁AQ=45°，再利用特殊角的三角函数值即可求出D₁Q的长度，此题得解．

解答 解：将正方形展开，取A₁B₁C₁D₁及ABB₁A₁两个面，过点D₁作D₁Q⊥AB₁于点Q，D₁Q交A₁B₁于点P，此时PD₁+PQ取最小值D₁Q．
∵ABB₁A₁为正方形，
∴∠D₁AQ=45°．
在Rt△D₁QA中，AD₁=AA₁+A₁D₁=3，∠D₁QA=90°，∠D₁AQ=45°，
∴D₁Q=sin∠D₁AQ•AD₁=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了轴对称中的最短路线问题、正方形的性质以及特殊角的三角函数值，找出点P、Q的位置是解题的关键．