Question

已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=

1

4

x2上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM；
（3）是否存在这样的点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，分别表示出PM、P到直线y=-1的距离，然后判断它们是否相等即可；
（2）分别过P、Q作直线y=-1的垂线，设垂足为H、R，那么PH∥MN∥QR，根据平行线分线段成比例定理，可得：PM：HN=QM：RN，而PM=PH，QM=QR，等量代换后即可证得△PNH∽△QNR，由此可得∠QNR=∠PNH，进而可证得所求的结论；
（3）显然∠PNM、∠NPM都不可能是直角，当∠PMN=90°时，若△PMN是等腰直角三角形，那么PM=MN=2，由此可求出点P的坐标．（另一种解法：若△PNM是等腰Rt△，那么∠PNM=∠PNH=45°，由此可得PH=NH，可列方程求出点P的坐标．）

解答：解：（1）设点P的坐标为（x₀，

1

4

x₀²），则
PM=

x02+ ( 1 4 x 2 0 -1)2

=

( 1 4 x 2 0 +1)2

= 1 4 x

2 0

+1；（2分）
又因为点P到直线y=-1的距离为

1

4

x

2 0

-(-1)=

1

4

x

2 0

+1，
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切；（2分）

（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R；
由（1）知，PH=PM，
同理可得，QM=QR．（2分）
因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，
所以PH∥MN∥QR，（1分）
于是

QM

RN

=

MP

NH

，
所以

QR

RN

=

PH

HN

，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN，（2分）
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM；（1分）

（3）显然，∠MNP≠90°，∠NPM≠90°，
所以，只能∠PMN=90°，（2分）
要使△PMN为等腰直角三角形，则有：
PM⊥MN且PM=MN，（1分）
所以，P（2，1）或（-2，1）（1分）

点评：此题是二次函数的综合题，考查了切线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，难度适中．