Question

（2012•德化县一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=4，⊙O的半径为3，求BD的值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质求出∠OCB=∠OBC，根据AB是直径得出∠ABC=90°，求出∠A+∠ABC=90°，代入求出∠OCB+∠BCD=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△DCB∽△DAC，得出CD²=BD×DA，代入即可求出BD．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴

CD

DA

=

BD

DC

，即CD²=AD•BD
又∵CD=4，AO=OB=3，
∴16=（BD+6）BD，
解得：BD=2．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．