Question

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E．求证：△BDE∽△ABE．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义，可得∠CAD与∠DAB的关系，根据对顶角相等，可得∠ADC与∠BDE的关系，根据余角的性质，可得∠DAC与∠DBE的关系，根据有两个角相等的三角形相似，可得答案．

解答 证明：∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB．
∵∠ADC与∠BDE是对顶角，
∴∠ADC=∠BDE．
∵BE⊥AE，垂足为点E，
∴∠E=90°=∠C．
∵∠CAD+∠ADC=∠DBE+∠BDE，
∴∠CAD=∠DBE，
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠E=∠E，
∴△BDE∽△ABE．

点评 本题考查了相似三角形的判定，利用了角平分线的定义，对顶角相等，余角的性质，相似三角形的判定，利用余角的性质得出∠CAD=∠DBE是解题关键．