Question

在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=cm，连接AC，△ABC恰好为等边三角形，△ACD恰好为直角三角形．求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：①作AE⊥BC于点E，
当∠ADC=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∴EC=2，
∴AE==6，
∠BAC=60°，
∵∠BAD=90，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
在Rt△ACD中，
CD=AC=2，AD==6，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=×BC×AE+CD×AD，
=×4×6+×2×6，
=12+6，
=18；

②当∠ACD=90°，
∵AC=4，∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴tan30°=，
解得：CD=4，
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=×BC×AE+CD×AC，
=×4×6+×4×4，
=12+8，
=20．
分析：首先对图形进行分析，当∠ADC=90°和当ACD=90°，所画图形不同，再利用勾股定理可以求出三角形ABC的面积，再利用解直角三角形的知识求出AD，CD，从而得出三角形面积，从而得出答案．
点评：此题主要考查了勾股定理与解直角三角形的应用，根据已知进行分类讨论得出两种情况，这种思想经常运用与数学运算与证明，同学们应熟练掌握此知识．