Question

已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S_△ACE-S_△BCE=S_△ADC．其中正确结论的个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：①在AE取点F，使EF=BE．利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出AE=（AB+AD）；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；
④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S_△ACE-S_△BCE=S_△ADC．
解答：①在AE取点F，使EF=BE．

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE=（AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
∴S_△ACE-S_△BCE=S_△ACE-S_△FCE=S_△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ADC，
∴S_△ACE-S_△BCE=S_△ADC，故④正确．
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线、等腰三角形的性质，邻补角定义及四边形的内角和定理，综合性较强，难度中等，关键是作辅助线．