Question

4．在直角边分别为3cm和4cm的直角三角形中，作一菱形，使菱形一个内角恰好是三角形的一个角．其余顶点都在三角形的边上．求所作菱形的边长．（画出图形并直接写出结果即可）

Answer 1

分析 分三种情况，根据题意画出图形，设出菱形的边长为x，再根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行解答．

解答 解：设Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，则AB=5，
如图1，设DE=x，
∵四边形ADEF是菱形，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CA}$，即 $\frac{x}{5}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得x=$\frac{20}{9}$cm；
如图2，设EF=x，
由DE∥BC可知△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{3-x}{3}$，
解得x=$\frac{15}{8}$cm；
如图3，设EF=x，
由EF∥BC可得△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，即 $\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得x=$\frac{12}{7}$cm．
故所作菱形的边长为：$\frac{20}{9}$cm、$\frac{15}{8}$cm、$\frac{12}{7}$cm．

点评 本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用相似三角形的对应边成比例进行解答．解题时注意：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．