Question

如图，二次函数y=x²-5x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E 作y轴的平行线，交△ABC的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．
（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；
（2）求当点F在AC边上，G在BC边上时t的值；
（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．

Answer 1

（1）解：

∵y=x²-5x+4=，
顶点C的坐标为（），
∵y=x²-5x+4=（x-1）（x-4），
∴点A（1，0），B（4，0），
设AC直线为y=kx+b，得，
解得：k=-，b=，
∴，
答：顶点C的坐标为（），直线AC的解析式是．

（2）解：设直线BC的解析式是y=ax+c，
把B（4，0），C（，-）代入得：0=4a+c且-=a+c，
解得：a=，c=-6，
直线BC的解析式为，
当F在AC边上，G在BC边上时，
点E坐标为（4-t，0），点F坐标为（），
得EF=，
而EF=FG，
∵抛物线的对称轴和等腰△ABC的对称轴重合，
∴FG=，
=2t-3，
∴=2t-3，
解得，

答：当点F在AC边上，G在BC边上时t的值是．

（3）解：点E坐标为（4-t，0）随着正方形的移动，重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：
①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF，
此时时，点F坐标为（），
=，
②点F在AC上时，点F坐标为（）又可分三种情况：
Ⅰ．如图2，EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB（设FG与直线BC交于点K），
此时＜t≤，
∴，
Ⅱ．如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH（设FG与直线BC交于点K，GH与直线BC交于点M），
此时，，
点H坐标为（），点M坐标为（），
，
，
，
∴S=S_EFGH-S_△KMG=（）²，
=，
Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时≤t＜3，
∴=t²-t+，
答：动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系S=t²（0＜t≤）或S=-t²+9t-（＜t≤）或S=-t²+t-（＜t＜）或S=t²-t+（≤t＜3）．
分析：（1）把y=x²-5x+4化成顶点式，求出顶点C的坐标，y=x²-5x+4化成（x-1）（x-4），求出A、B的坐标，设AC直线为y=kx+b，把A、C的坐标代入就能求出直线AC的解析式；
（2）设直线BC的解析式是y=ax+c，把B、C的坐标代入就能求出直线BC，点E坐标为（4-t，0），点F坐标为（），求出EF=，FG=2t-3，根据EF=FG，即可求出t的值；
（3）可分以下几种情况：①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF₂，此时时，点F坐标为（），根据三角形的面积公式即可求出；②I如图2，EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB，此时＜t≤，根据三角形的面积公式即可求出；II如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH，此时，，因为S=S_{正方形EFGH}-S_△KMG，根据三角形的面积公式即可求出；Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时≤t＜3，
根据正方形的面积公式求出即可．
点评：本题主要考查对二次函数与X轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，三角形的面积，用十字相乘法分解因式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．