Question

如图，BD是圆O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，延长DB到F，使BF=BO，连接FA．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）若AE=2，ED=4，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，直线FA为⊙O相切吗？为什么？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先由AB=AC得到∠ABC=∠C，再根据圆周角定理得∠C=∠D，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE∽△ADB，再利用相似比和比例的性质即可得到结论；
（2）利用（1）的结论计算；
（3）先在Rt△ABD中利用勾股定理计算出BD=4

3

，则OB=OA=2

3

，于是可判断△OAB为等边三角形，得到∠ABD=∠BAO=60°，再计算出∠BAF=30°，由此得到∠OAF=∠BAO+∠BAF=90°，然后根据切线的判定定理得直线FA与⊙O相切．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
而∠C=∠D，
∴∠D=∠ABC，
而∠EAB=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE；
（2）解：连接OA，如图，
∵AB²=AD•AE，
∴AB²=2•（2+4），
∴AB=2

3

；
（3）解：直线FA与⊙O相切．理由如下：
在Rt△ABD中，∵AB=2

3

，AD=6，
∴BD=

AB2+AD2

=4

3

，
∴OB=OA=2

3

，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠ABD=∠BAO=60°，
∵BO=BF，
∴BF=AB，
∴∠F=∠BAF，
∴∠BAF=30°，
∴∠OAF=∠BAO+∠BAF=60°+30°=90°，
∴OA⊥AF，
∴直线FA与⊙O相切．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和相似三角形的判定与性质；会运用相似比和勾股定理进行几何计算．