Question

12．在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=x²-（k+1）x+k（k＞1）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E．
（1）如图l，当AB=4时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接CD，点F为x轴上方对称轴上一点，连接0F，当∠FOE=∠OCD时，求点F的纵坐标；
（3）在（1）的条件下，如图3，点R在抛物线上，且点R与点C关于抛物线对称轴对称，过点R作x轴的垂线RH交x轴于点H，点P为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，射线DP交RH于点M，过点A作直线GL分别交y轴于点G、交抛物线对称轴于点L，当△PRM  是以RP为底的等腰三角形时，且GL=DM，求线段EL的长．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线y=x²-（k+1）x+k（k＞1）与x轴交点A、B的坐标，由AB=4，解关于k的方程即可；
（2）求出D、C两点坐标，线段DJ、CJ、OE用含k的代数式表示，根据等角的余切函数列比例式，求出EF的长；
（3）过点D作DN⊥RH交RH的延长线于点N，过点P作PI⊥DN交DN于点I交x轴于点S，作PQ⊥RN于点Q，过点G作GT⊥DE于点T，证明Rt△GTL∽Rt△DNM，运用等角的余切函数列比例式，求出EL的长．

解答 解：（1）如图1，当y=0时，x²-（k+1）x+k=0，解得x=1或x=k，
∵点A在点B的左侧，k＞1，
∴A（1，0），B（k，0），
∵AB=k-1=4，
∴k=5，
∴抛物线的解析式为：y=x²-6x+5；
（2）如图1，过点D作DJ⊥y轴于点J，
∵y=x²-（k+1）x+k=（x-$\frac{k+1}{2}$）²+$\frac{-{k}^{2}+2k-1}{4}$
∴点D坐标为（$\frac{k+1}{2}$，$\frac{-{k}^{2}+2k-1}{4}$），
∵∠DJO=∠JOE=∠OED=90°，
∴四边形OJDE是矩形，
∴DJ=OE=$\frac{k+1}{2}$，
∵C（0，k）
∴CJ=k-$\frac{-{k}^{2}+2k-1}{4}$=$\frac{（k+1）^{2}}{4}$，
∵∠FOE=∠COD，
∴tan∠FOE=tan∠OCD，
∴$\frac{EF}{OE}=\frac{DJ}{CJ}$
∴EF=$\frac{DJ•OE}{CJ}$=1，
∴点F的纵坐标为1；
（3）过点D作DN⊥RH交RH的延长线于点N，过点P作PI⊥DN交DN于点I交x轴于点S，作PQ⊥RN于点Q，过点G作GT⊥DE于点T，
同理可得，四边形EDNH、GTEO、PINQ均为矩形，
∵y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴D（3，-4），C（0，5），
∴GT=OE=3，
∵点R与点C关于对称轴对称，
∴OH=6，
∴R（6，5）
∴DN=EH=6-3=3，
设PQ=m，PS=n，
∴P（6-m，n），
∵点P在抛物线上，
∴n=（6-m）²-6（6-m）+5=m²-6m+5，
∵PI=m²-6m+5+4=（m-3）²，DI=3-m，
∴tan∠NDM=$\frac{MN}{ND}$=tan∠PDI=$\frac{PI}{DI}$=$\frac{（m-3）^{2}}{3-m}$=3-m，
∴MN=9-3m，
∵RN=9，
∴RM=9-（9-3m）=3m，
∴MP=RM=3m，MQ=$\sqrt{M{P}^{2}-P{Q}^{2}}$=$\sqrt{（3m）^{2}-{m}^{2}}$=2$\sqrt{2}$m，
∴tan∠DMN=tan∠PMQ=$\frac{PQ}{MQ}$=$\frac{m}{2\sqrt{2}m}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵GL=DM，GT=DN=3，
∴Rt△GTL≌Rt△DNM，
∴∠ALE=∠DMN，
∴tan∠ALE=tan∠DMN=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵tan∠ALE=$\frac{AE}{EL}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2}{EL}$，
∴EL=4$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、利用三角函数解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程的问题．