Question

已知：如图，正方形ABCD中，O是BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：G是DF中点；
（3）若CE=1，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DCF=90°，
∴∠DCF=90°=∠BCD，
∵在△BCD和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠1=∠F，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠F+∠2=90°，
∵D、G、F三点共线，
∴∠BGF+∠BGD=180°，
∴∠BGD=90°=∠BGF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠3=∠2，
∵在△BDG和△BGF中，
，
∴△BDG≌△BGF（ASA），
∴DG=FG，
∴G是DF的中点；

（3）∵O是BD的中点，G是DF的中点，
∴OG=BF，
∵∠BGD=90°，O是BD的中点，
∴OG=BD，设正方形边长是x，则BF=BC+CF=BC+CE=x+1，
∴BD=x+1，
∵∠BCD=90°，
∴BC²+CD²=BD²，即x²+x²=（x+1）²，
解得x=+1，
∴S_{正方形ABCD}=x²=（+1）²=3+2．
分析：（1）根据正方形的性质可以得到∠DCF=90°=∠BCD，根据SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）首先证明∠BGD=∠BGF=90°，然后利用ASA即可证明△BDG≌△BGF，从而得到DG=FG，即G是DF中点；
（3）根据（2）的证明可以得到BF=BD，则设正方形边长是x，则BD=x+1，在直角△BCD中，利用勾股定理即可得到一个关于x的方程求得正方形的边长，则面积即可求得．
点评：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理的性质，以及勾股定理的应用，正确理解定理是关键．