Question

已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°-∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

解：AB=BD+CD，
理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，
∵∠ADB=90°-∠BDC，
∴∠ADE=180°-（90°-）-∠BDC=90°-，
∴∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，
∵AB=AC，
∴AE=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．
分析：求出∠ADB=∠ADE，根据SAS证△ABD≌△AED，推出∠E=∠ABD=60°，AB=AE=AC，得出△ACE是等边三角形，推出AB=CE即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的综合应用．