Question

如图，已知AD是圆O直径，点C在圆上，点B在线段AD延长线上，且∠A=∠B=30°，连接BC．
（1）证明：BC是圆O的切线；
（2）若圆O的半径为，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，当直线DP为圆O的切线时，求线段DP的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是圆O的切线；

（2）解：连接CD．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD•sin30°=，
∴BD=，
∵直线DP为圆O的切线，
∴DP⊥AB，则△BDP∽△BCO，
∴=，
∵BC==3，
∴PD=×OC=×=1．
分析：（1）连接OC．欲证BC是圆O的切线，只需证明BC⊥OC；
（2）连接CD．通过相似三角形△BDP∽△BCO的对应边成比例列出比例式=，从而求得PD的长度．
点评：本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．判定切线时，经常作的辅助线是“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．