Question

如图1，矩形ABCD中，点P从A出发，以3cm/s的速度沿边A→B→C→D→A匀速运动；同时点Q从B出发，沿边B→C→D匀速运动，当其中一个点到达终点时两点同时停止运动，设点P运动的时间为t s．△APQ的面积s（cm²）与t（s）之间函数关系的部分图象由图2中的曲线段OE与线段EF给出．

（1）点Q运动的速度为

 

cm/s，a﹦

 

cm²；
（2）若BC﹦3cm，
①求t＞3时S的函数关系式；
②在图（2）中画出①中相应的函数图象．

Answer 1

考点：二次函数综合题,动点问题的函数图象

专题：压轴题

分析：（1）根据点E时S最大，判断出2秒时点P运动至点B，点Q运动至点C，然后根据点P的速度求出AB，再根据3秒时，S=0判断出点P与点Q重合，然后根据追击问题的等量关系列出方程求出点Q的速度即可得解；
（2）①求出3秒时点P、Q在点C重合，再求出点P到达点D的时间为5秒，到达点A的时间为6秒，然后分3＜t≤5时表示出PQ，然后根据三角形的面积公式列式整理即可；5＜t≤6时，表示出AP、DQ，然后利用三角形的面积公式列式整理即可；
②根据函数解析式作出图象即可．

解答：解：（1）由图可知，2秒时点P运动至点B，点Q运动至点C，
∵点P的速度为3cm/s，
∴AB=3×=6cm，
3秒时，S=0判断出点P与点Q重合，
设点Q的速度为xcm/s，
则3x+6=3×3，
解得x=1，
此时，BC=2×1=2cm，
a=

1

2

×6×2=6cm²，
故答案为：1，6；

（2）∵（6+3）÷3=3s，3÷1=3s，
∴3秒时点P、Q在点C重合，
点P到达点D的时间为：（6+3+6）÷3=5s
到达点A的时间为：（6+3+6+3）÷3=6s，
①若3＜t≤5，则PQ=3t-t-6=2t-6，
S=

1

2

×（2t-6）×3=3t-9；
若5＜t≤6，则AP=（6+3+6+3）-3t=18-3t，
DQ=（6+3）-t=9-t，
S=

1

2

×（18-3t）×（9-t）=

3

2

t²-

45

2

t+81；
所以，S=

3t-9(3＜t≤5) 3 2 t2- 45 2 t+81(5＜t≤6)

；
②函数图象如图2所示．

点评：本题是二次函数综合题型，动点问题函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，根据图2判断出2秒时点P、Q的位置是解题的关键，也是本题的难点，根据3秒时，点P、Q重合利用追击问题等量关系求出点Q的速度也很重要．