Question

你能求（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值：
（1）（x-1）（x+1）=

 

；
（2）（x-1）（x²+x+1）=

 

；
（3）（x-1）（x³+x²+x+1）=

 

；
由此我们可以得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+…+x+1）=

 

；
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+…+2+1；      
（2）（-3）⁵⁰+（-3）⁴⁹+…+（-3）+1．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：根据平方差公式，立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1，根据上述结论计算下列式子即可．

解答：解：根据题意：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（2）（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（3）（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；故（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1．
根据以上分析：
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1=（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1）=2¹⁰⁰-1；
（2）（-3）⁵⁰+（-3）⁴⁹+（-3）⁴⁸+…（-3）+1
=-

1

4

（-3-1）[（-3）⁵⁰+（-3）⁴⁹+（-3）⁴⁸+…（-3）+1]
=-

1

4

（-3⁵¹-1）
=

351+1

4

．

点评：此题考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．