Question

如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，过点D的切线交BC的延长线于点E．若BE⊥DE，AD+DC=40，⊙O的半径为，求BC的长及tan∠CDB的值．

Answer 1

解：连接AC，
∵AB为直径，BE⊥DE，
∴∠ADB=∠ACB=∠E=90°，
∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠DCA，
∵ED切圆O于点D，
∴∠EDC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC，
∵AD+DC=40，
∴AD=DC=20，
∵圆O的半径为，AB为直径，
∴AB=，
∵四边形ABCD内接于半圆O，
∴∠DCE=∠DAB，
又∵∠E=∠ADB=90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴===，
∴CE=AD=×20=12，
∴DE===16，
∵DE是切线，ECB是割线，
∴ED²=EC•EB，
∴EB===，
∴BC=BE-CE=，
∴AC===32，
∴tan∠CAB===，
∵∠CDB=∠CAB，
∴tan∠CDB=tan∠CAB=，
则BC=，tan∠CDB=．
分析：连接AC，由AB为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到一对直角相等，再由BE垂直于DE得到∠E为直角，进而得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，等量代换及等角对等边得到AD=DC，由AD+DC=40求出AD=DC=20，由圆四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形DEC与三角形ABD相似，由AD，DC，AB的长求出CE的长，根据勾股定理求出DE的长，再利用切割线定理求出EB的长，由EB-EC即可求出BC的长，根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDB=∠CAB，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出tan∠CAB的值，即为tan∠CDB的值．
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．