Question

（2012•从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；
（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．再通过配方、令函数值为0可求出顶点D以及点C的坐标．
（2）由图可知：若以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，令EF∥AB显然不符合要求，那么只需考虑BF∥AE即可，那么还需满足BF=AE；首先求出直线BD的解析式，进而得出点E的坐标以及AE、BF的长，由此可确定点F的坐标，再代入抛物线的解析式中验证即可．
（3）分别过点P、Q作x轴的垂线，那么△APQ的面积可由五边形和△APS（以解答图为准）的面积差求得，在得到关于△APQ的面积和Q点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可确定该题的答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，有：

a-b-3a=0 -3a=3

，
解得

a=-1 b=2

抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
∵由-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3
∴C（3，0）
∵由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴D（1，4）．

（2）∵四边形AEBF是平行四边形，
∴BF=AE． 
设直线BD的解析式为：y=kx+b，则
∵B（0，3），D（1，4）
∴

b=3 k+b=4

，
解得

k=1 b=3

∴直线BD的解析式为：y=x+3；
当y=0时，x=-3
∴E（-3，0），∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，∴AE=2，
∴BF=2，
∴F的横坐标为2，
∴y=3，
∴F（2，3）．

（3）如图，设Q（a，-a²+2a+3），作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），
∴AR=a+1，QR=-a²+2a+3，PS=3，RS=2-a，AS=3
∴S_△PQA=S_{四边形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA
=

(PS+QR)

2

×RS+

AR×QR

2

-

PS×AS

2

=

(3-a2+2a+3)

2

×(2-a)+

(a+1)×(-a2+2a+3)

2

-

3×3

2

∴S_△PQA=-

3

2

a2+

3

2

a+3=-

3

2

(a-

1

2

)2+

27

8

∴当a=

1

2

时，S_△PQA的最大面积为

27

8

，
此时Q(

1

2

，

15

4

)．

点评：本题主要考查了二次函数、顶点坐标、平行四边形的性质、三角形的面积等基础知识，考查了计算能力．在解题时，要注意数形结合数学思想的合理应用．