Question

（2007•临汾）阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．

（1）如图1，当n=3时，设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=•=60°，OC=r，
∴AC=r•tan60°，∴AB=2r•tan60°，
∴S_△OAB=•r•2r•tan60°=r²tan60°，
∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60度．
（2）如图2，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=4S_△OAB=______；
（3）如图3，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（4）如图4，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=______．

Answer 1

【答案】分析：根据正n边形倍所有的半径分割成了n个全等三角形，只需首先计算其中一个三角形的面积．根据其边心距结合锐角三角函数表示出正多边形的边长，再根据三角形的面积公式进行计算，进一步得到其正多边形的面积．
解答：解：（2）4r²tan45°．（2分）

（3）如图，当n=5时，设AB切⊙O于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，∵OA=OB，
∵∠AOC=•=36°，OC=r，（3分）
∴AC=r•tan36°，∴AB=2r•tan36°，（4分）
∴S_△OAB=•r•2r•tan36°=r²tan36°，（4分）
∴S_正五边形=5S_△OAB=5r²•tan36°．（6分）

（4）nr²tan．（8分）
点评：能够熟练运用锐角三角函数进行求解．注意：正n边形的半边所对的角是中心角的一半，即．