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    （2009•东城区一模）请阅读下列材料：
    圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．

    已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作-弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
    （1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；
    （2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；
    （3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．
    【答案】分析：（1）由于AC过圆心，那么Q，A重合，R，C重合，可根据OP和半径的长求出PA，PC的长，即PQ，PR的长．由此可得出所求的结论；
    （2）连接OA，不难得出OA∥PQ，那么可得出∠OAP=∠APQ，可先在直角三角形OAP中，求出∠OAP的度数和AP的长，进而可在直角三角形APQ中求出PQ的长，同理可求出PR的长，即可求出所求的结论；（本题还可通过证△ADP和△PAQ相似，得出的值，同理可连接CD得出的值）
    （3）本题要通过相似三角形来求解．过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，通过相似三角形△AEC∽△PAQ，得出关于AC，PQ，AE，AP的比例关系式，同理可求出AC，PR，AE，PC的比例关系式，两式联立可得出的表达式，然后根据相交弦定理即可证得所求的结论．
    （第二种证法和（2）的第二种求法完全相同．）
    解答：解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，
    ∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．
    ∴Q与A重合，R与C重合．
    ∵OP=1，AC=4，
    ∴+=1+=．

    （2）连接OA，
    ∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，
    ∴∠OAP=30°．
    ∴AP=．
    ∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，
    ∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
    ∴∠APQ=∠OAP=30°．
    ∴AP=．
    ∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，
    ∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
    ∴∠APQ=∠OAP=30°．
    在Rt△AQP中，PQ=，同理，PR=，
    ∴．

    （3）猜想．
    证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，
    ∴∠ECA=90°．
    ∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，
    ∴AE∥PQ且∠PQA=90°．
    ∴∠EAC=∠APQ．
    ∴△AEC∽△PAQ．
    ∴①
    同理可得：②
    ①+②，得：
    +=+
    ∴=（）
    =•=．
    过P作直径交⊙O于M，N，
    根据阅读材料可知：AP•PC=PM•PN=3，
    ∴=．
    点评：本题主要考查了相似三角形和相交弦定理的应用，根据相似三角形得出与所求相关的线段成比例是解题的关键．
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