精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于A（0，4），且抛物线经过点C（-3，-2），对称轴x=- $数学公式$ ．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于B点，连接AC，AB，若在抛物线上有一点D，使得 $数学公式$ _△ABC=S_△BCD，求D点的坐标；
（3）记抛物线与x轴左交点为E，在A、E两点之间的抛物线上有一点F，连接AE、FE、FA，试求出使得S_△AEF面积最大时，F点的坐标以及此时的面积．

解：（1）由题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
故抛物线解析式为：y=x²+5x+4；

（2）当y=-2时，
-2=x²+5x+4
解得：x₁=-3，x₂=-2，
∴BC=1，
$\text{[math]}$ =3，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴h=9，
∵直线BC下方的抛物线到直线BC的距离最大为： $\text{[math]}$
∴点D位于直线BC上方且到直线BC的距离为：9，
∴y_D=7，代入抛物线得：x²+5x+4=7，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴D₁（ $\text{[math]}$ ，7），D₂（ $\text{[math]}$ ，7）；

（3）由y=x²+5x+4=（x+4）（x+1），
则图象与x轴左侧交点为：（-4，0），再将A（0，4）代入y=kx+b，

则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
∴直线AE的解析式为：y=x+4，
设F坐标为（m，m²+5m+4），
则G坐标为（m，m+4）
∴FG=（m+4）-（m²+5m+4）=-m²-4m，
S_△AEF= $\text{[math]}$ （-m²-4m）×4=-2m²-8m（-4＜m＜0），
当m= $\text{[math]}$ 时，
S_△AEF的最大面积为：S_△AEF=-2×（-2）²-8×（-2）=8，
此时F的坐标为（-2，-2）．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）根据当y=-2时，则-2=x²+5x+4，得出BC的长，再利用A点坐标得出S_△ABC，进而得出D点纵坐标，即可得出答案；
（3）首先求出直线AE的解析式为：y=x+4，设F坐标为（m，m²+5m+4），则G坐标为（m，m+4）得出FG=（m+4）-（m²+5m+4）=-m²-4m，
即可得出S_△AEF= $\text{[math]}$ （-m²-4m）×4=-2m²-8m（-4＜m＜0），进而得出S_△AEF面积最大时，F点的坐标以及此时的面积．
点评：此题主要考查了三角形面积求法以及待定系数法求二次函数解析式和图象上点的性质等知识，利用数形结合得出D点位置是解题关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

-2＜x＜0

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学