Question

如图，P₁是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，已知△P₁O A₁为等边三角形，点A₁的坐标为（2，0）．
（1）直接写出点P₁的坐标；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）若△P₂A₁A₂为等边三角形，求点A₂的坐标．

Answer 1

解：（1）过P₁作P₁M⊥x轴，如图所示，
∵△P₁O A₁为等边三角形，点A₁的坐标为（2，0），
∴OP₁=OA₁=2，OM=A₁M=1，
在Rt△OP₁M中，根据勾股定理得：P₁M==，
则P₁（1，）；

（2）∵P₁在反比例函数y=（k＞0）图象上，
∴=，即k=，
则反比例函数的解析式为y=；

（3）设等边三角形P₂A₁A₂的边长为a（a＞0），则A₂（2+a，0），
如图，过P₂作P₂H⊥x轴，垂足为点H，
∴A₁H=a，P₂H=P₂A₁sin∠P₂A₁H=a•sin60°=，
∴P₂（2+a，），
∵P₂在反比例函数y=图象上，
∴=，即a²+4a-4=0，
解得：a₁=2-2，a₂=-2-2（舍去），
∴2+a=2，
∴A₂（2，0）．
分析：（1）过P₁作P₁M⊥x轴，根据△P₁O A₁为等边三角形，由点A₁的坐标确定出等边三角形的边长，利用三线合一求出OM的长，在Rt△OP₁M中，根据勾股定理求出P₁M的长，即可确定出点P₁的坐标；
（2）将点P₁的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（3）设等边三角形P₂A₁A₂的边长为a（a＞0），表示出A₂坐标，分别表示出OH与P₂H，确定出P₂坐标，将P₂坐标代入反比例解析式得出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出A₂坐标．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，勾股定理，锐角三角函数定义，以及等边三角形的性质，弄清题意是解本题的关键．