Question

如图在平面平面直角系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线l上一动点．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）当AP+CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作
⊙A．求证：BP与⊙A相切．
（3）点P在直线l上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
把C（0，4）代入得4=-8a，解得a=-，
∴此抛物线的表达式为y=-（x+2）（x-4）=-x²+x+4；

（2）抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∵AP+CP的值最小，AC为定值，则过C作CC′⊥l交抛物线与C′，则点C与C′为对称点，连AC′交直线x=1与点P，连PC，
∴C′的坐标为（2，4），
设直线AC′的解析式为y=kx+b，把A（-2，0）和C′（2，4）代入得-2k+b=0，2k+b=4，解得k=1，b=2，
∴直线AC′的解析式为y=x+2，
令x=1，则y=3，
所以P点坐标为（1，3）；
连BP，如图，
∵PD=3，DA=1-（-2）=3，BD=4-1=3，
∴△PDB和△PBD都为等腰直角三角形，
∴∠APB=45°+45°=90°，
∴PB为⊙A的切线；

（3）存在．
当PC=PA，作AC的中垂线交直线x=1于P₁点，P₁C=P₁A，
设P₁（1，y），
则y²+3²=1²+（4-y）²，解得y=1，
∴P1（1，1）；
当AP=AC=2以A圆心、AC为半径交直线x=1于P₂、P₃，连AP₂，AP₃，
P₂D==，
∴P₂的坐标为（1，），P₃的坐标为（1，-）；
当CP=CA=2，以C为圆心、AC为半径交直线x=1于P₄、P₅，连CP₄，CP₅，过C作CE⊥直线x=1于E点，
同理可得到P₄的坐标为（1，4+），P₅的坐标为（1，4-）．
∴符合条件的点P坐标为：（1，1）、（1，）、（1，-）、（1，4+）、（1，4-）．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式：设抛物线的交点式y=a（x+2）（x-4），然后把C（0，4）代入得4=-8a，解出a即可；
（2）先求出对称轴为直线x=1，过C作CC′⊥l交抛物线与C′，则点C与C′为对称点，连AC′交直线x=1与点P，连PC，此时AP+CP的值最小，C′的坐标为（2，4）；利用待定系数法可求直线
AC′的解析式为y=x+2，令x=1，则y=3，确定P点坐标为（1，3）；连BP，如图，易得PD=3，DA=1-（-2）=3，BD=4-1=3，则△PDB和△PBD都为等腰直角三角形，得到∠APB=45°+45°=90°，根据切线的判定定理即可得到BP与⊙A相切；
（3）分类讨论：当CP=CA，点P与点A关于y轴对称，则P₁点坐标为（2，0）；当AP=AC=2，以A圆心、AC为半径交直线x=1于P₂、P₃，连AP₂，AP₃，利用勾股定理计算出
P₂D=，于是可确定P₂的坐标为（1，），P₃的坐标为（1，-）；当CP=CA=2，以C为圆心、AC为半径交直线x=1于P₄、P₅，连CP₄，CP₅，过C作CE⊥直线x=1于E点，用同样的方法可求出P₄的坐标为（1，4+），P₅的坐标为（1，4-）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴方程．同时考查了等腰直角三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用以及切线的判定方法．