Question

如图，将△ABC纸片沿MN折叠后点C与点A恰好重合，设∠C=22.5°，AD⊥BC于点D．过点N作NE⊥AB于点E，并且交AD于点F，求证：DB=DF．

Answer 1

证明：连接AN
∵△ANM与△CNM关于NM对称
∴△ANM≌△CNM，
∴∠1=∠C．
∵∠C=22.5°，
∴∠1=22.5°，
∴∠AND=45°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADN=90°，
∴∠DAN=45°，
∴∠AND=∠DAN，
∴AD=ND．
∵NE⊥AB，
∴∠BEN=90'，
∴∠EAF+∠4=90°．
∵∠4=∠3，∠3+∠2=90°
∴∠EAF=∠2．
∵在△ABD与△NFD中，
，
∴△ABD≌△NFD（ASA），
∴DB=DF．
分析：先连结AN，根据轴对称的性质可以得出△ANM≌△CNM，就有∠1=∠C，根据条件就有∠DAN=45°，可以得出△ADN是等腰直角三角形，就有AD=DN，再由条件可以得出△ABD≌△NFD，从而有DB=DF．
点评：本题考查了轴对称的性质的运用，等腰直角三角形的判定及运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时由轴对称的性质为起点证明△ADN是等腰直角三角形是关键，从而证明△ABD≌△NFD是难点．