Question

15．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车匀速行驶（汽车速度大于摩托车的速度）；甲先到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们之间的距离y（千米）与甲出发时间x（小时）之间的函数图象，其中D表示甲返回到A地．
（1）求甲乘汽车从A地前往B地和从B地返回A地的速度；
（2）求线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式；
（3）求甲车出发多长时间辆车相距50千米．

Answer 1

分析 （1）根据图象和已知条件可知，甲乘车1小时到达B地，从而可以求得甲乘汽车从A地前往B地的速度，从而可以求得乙骑摩托车的速度，甲返回经过半小时与乙相遇，可以求得甲乘车从B地返回A地的速度；
（2）根据题意可以求得点D的坐标，由点C（2，0），从而可以求得线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式；
（3）根据函数图象可知符合要求的存在三段，分别求出相应的函数解析式，令y=50代入可以分别求得相应的时间，本题得以解决．

解答 解：（1）∵由图象可知，甲乘车1小时到达B地，
∴甲乘汽车从A地前往B地速度为：90÷1=90千米/时，
乙骑摩托车的速度为：（90-60）÷1=30÷1=30千米/时，
∵由图象可知，甲从B地返回甲地，经过0.5小时与乙相遇，
∴甲乘车从B地返回A地的速度为：（90-1.5×30）÷0.5-30=60千米/时，
即甲乘汽车从A地前往B地的速度是90千米/时，从B地返回A地的速度是60千米/时；
（2）由第（1）问可知，甲乘车从B地到A地的速度是60千米/时，
∴甲从B到A地用的时间是：90÷60=1.5小时，
故点D的坐标是（3，90），
设过点C（2，0），点D（3，90）的直线的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{3k+b=90}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=90}\\{b=-180}\end{array}\right.$，
即线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式是：y=90x-180；
（3）设过点O（0，0），E（1，60）的直线的解析式为：y=ax，
则60=a×1，得a=60，
故y=60x，
将y=50代入y=60x，得x=$\frac{5}{6}$；
设过点E（1，60），F（1.5，45）的直线解析式为：y=cx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{c+d=60}\\{1.5c+d=45}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{c=-30}\\{d=90}\end{array}\right.$
故y=-30x+90，
将y=50代入y=-30x+90得，x=$\frac{4}{3}$；
由（2）知线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式是：y=90x-180，
将y=50代入y=90x-180，得$x=\frac{23}{9}$，
由上可得，当甲出发$\frac{5}{6}$小时，$\frac{4}{3}$小时或$\frac{23}{9}$小时时，两辆车相距50千米．

点评 本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答问题．