Question

8．我们都知道：“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．”现在我们运用这一性质完成本题，如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴正半轴上且∠ABO=30°，D（2，0），直线y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）的图象过点C（3，n），与x轴交于点A．
（1）直接写出A点坐标（-1，0），B点坐标（0，$\sqrt{3}$），C点坐标 （3，$\sqrt{3}$）；
（2）判断四边形ABCD的形状，不需要说明理由；
（3）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转120°到△A₁OB₁，求A₁的坐标；
（4）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转到△A₂OB₂，直接写出以点O，A₂，D，B₂为顶点的四边形为平行四边形时A₂的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用坐标系中坐标轴上的点的特征得出点A坐标，再用含30度角的直角三角形的性质即可得出点B坐标；
（2）先求出AD，BC得出AD=BC，再判断出AD∥BC即可得出结论；
（3）由旋转得出∠A₁OB=30°，进而由含30°的直角三角形的性质即可得出结论；
（4）分两种情况利用平行四边形的性质和等边三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）直线y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）的图象与x轴交于点A．
∴A（-1，0），
∴OA=1，
在Rt△AOB中，∠ABO=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴B（0，$\sqrt{3}$），
∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）的图象过点C（3，n），
∴n=$\sqrt{3}$，故答案为：（-1，0），（0，$\sqrt{3}$），$\sqrt{3}$，

（2）由（1）知，A（-1，0），
∵D（2，0），
∴AD=3，由（1）知，B（0，$\sqrt{3}$），
∵C（3，$\sqrt{3}$），
∴BC∥AD，BC=3，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，

（3）如图1，由旋转知，∠AOA₁=120°，OA₁=OA=1，
∵∠AOB=90°，
∴∠A₁OB=30°，
过点A₁作A₁G⊥OB于G，
在Rt△A₁OG中，OA₁=1，
∴A₁G=$\frac{1}{2}$，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（4）①当OD为对角线时，如图2，
∵四边形OA₂DB₂是平行四边形，
∴OM=DM=1，A₂M=B₂M=1，
由旋转知OA₂=OA=1，
∴△OA₂M是等边三角形，
∴A₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），

②当OA为边时，如图3，
∵四边形ODA₂B₂是平行四边形，
∴A₂B₂∥OD，交y轴于N，
由旋转知，OA₂=1，OB₂=$\sqrt{3}$，A₂B₂=2，
在Rt△A₂ON中，A₂N=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A₂（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了坐标轴上点的特征，含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解（2）的关键是判断出BC∥AD，解（3）的关键是求出∠A₁OB=30°，解（4）的关键是分类讨论．