Question

在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）直接填写：=         ，b=         ，顶点C的坐标为         ；

（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

Answer 1

解：（1），顶点C的坐标为（-1，4）

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D,  过点C作CE⊥y轴于点E.

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°.  又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1.  又∵∠CED=∠DOA =90°，

∴△CED ∽△DOA，∴.

设D（0，c），则.

变形得，解之得.

综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.

延长CP交x轴于M，∴AM=CM，  ∴AM²=CM².

设M（m，0），则( m+3)²=4²+(m+1)²，∴m=2，即M（2，0）.

设直线CM的解析式为y=k₁x+b₁，

则， 解之得，.

∴直线CM的解析式.

联立，解之得或(舍去).∴.

 ②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.

过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.

      由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得.

      ∴, 点F坐标为（-5,1）.

设直线CF的解析式为y=k₂x+b₂，则，解之得.

∴直线CF的解析式.

联立 ，解之得 或  (舍去).  ∴.

∴满足条件的点P坐标为或