Question

已知抛物线y＝x²―x―2．

(1)求抛物线顶点M的坐标；

(2)若抛物线与x轴的交点分别为点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时(点N不与点B，点M重合)，设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线∴顶点M的坐标为　　1分 　　(2)抛物线与与x轴的两交点为A(－1，0)，B(2，0)． 　　设线段BM所在直线的解析式为． 　　∴解得　∴线段BM所在直线的解析式为　　2分 　　设点N的坐标为．∵点N在线段BM上，∴．∴． 　　∴S四边形NQAC＝S△AOC＋S梯形OQNC　　3分 　　∴S与t之间的函数关系式为，自变量t的取值范围为　　4分 　　(3)假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P(m，n)，则且． 　　，，． 　　分以下几种情况讨论： 　　①若∠PAC＝90°，则．∴ 　　解得，．∵．∴．∴　　6分 　　②若∠PCA＝90°，则．∴ 　　解得，．∵，∴．∴． 　　当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角． 　　∴存在符合条件的点P，且坐标为，　　8分