Question

如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P．设正方形ABCD的边长为1．
（1）证明：△CMG≌△NBP；
（2）设BE=x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，可得∠ABD=45°，同理∠BEG=45°再求证四边形BCMN是矩形，然后即可判定△CMG≌△NBP，
（2）根据正方形BEFG，从而可得CM=1-x，然后得y=

1

2

（BG+MN）•BN即可．
（3）由已知易得四边形BGMP是平行四边形，要使四边形BGMP是菱形则BG=MG，可得x=

2

(1-x)，解得x即可．

解答：证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠C=∠CBA=90°，∠ABD=45°，
同理∠BEG=45°，
∵CD∥BE，
∴∠CMG=∠BEG=45°，
∵MN⊥AB，垂足为N，
∴∠MNB=90°，
∴四边形BCMN是矩形，
∴CM=NB，
又∵∠C=∠PNB=90°，∠CMG=∠NBP=45°，
∴△CMG≌△NBP；

（2）∵正方形BEFG，
∴BG=BE=x，
∴CG=1-x，
从而CM=1-x，
∴y=

1

2

(BG+MN)•BN=

1

2

(1+x)(1-x)=

1

2

-

1

2

x2（0＜x＜1）；

（3）由已知易得MN∥BC，MG∥BP，
∴四边形BGMP是平行四边形，
要使四边形BGMP是菱形，则BG=MG，
∴x=

2

(1-x)，
解得x=2-

2

，
∴BE=2-

2

时四边形BGMP是菱形．

点评：此题主要考查正方形的性质，根据实际问题咧二次函数关系式，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，而且有一定的拔高难度，属于难题，要求学生做题时一定要仔细，认真．