Question

如图所示，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，在⊙O₁中，△ABC为正三角形，在⊙O₂中四边形ABDE为正方形，若O₁A=2，则O₂A=

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,正多边形和圆,特殊角的三角函数值

专题：计算题

分析：连接O₁B、O₂B，易证△AO₁O₂≌△BO₁O₂，则有∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，∠AO₂O₁=∠BO₂O₁．从而得到O₁O₂⊥AB，∠AO₁O₂=60°，∠AO₂O₁=45°，然后利用三角函数就可解决问题．

解答：解：连接O₁B、O₂B，如图所示，
由题可得：∠AO₁B=

360°

3

=120°，∠AO₂B=

360°

4

=90°．
在△AO₁O₂和△BO₁O₂中，

O1A=O1B O2A=O2B O1O2=O1O2

．
∴△AO₁O₂≌△BO₁O₂．
∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，∠AO₂O₁=∠BO₂O₁．
∴O₁O₂⊥AB，∠AO₁O₂=60°，∠AO₂O₁=45°．
在Rt△AO₁H中，
AH=AO₁•sin∠AO₁H=2×

3

2

=

3

．
在Rt△AO₂H中，
sin∠AO₂H=

AH

AO2

=

3

AO2

=

2

2

，
解得：AO₂=

6

．
故答案为：

6

．

点评：本题考查了正多边形与圆、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数等知识，而利用三角函数是解决本题的关键．