Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．
（1）求证：①点F是BD中点；②CG是⊙O的切线；
（2）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：①∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；
∴==．
∵HE=EC，
∴BF=FD，即点F是BD中点．

②证明：连接CB、OC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径，
∴CG是⊙O的切线．

（2）解：∵FC=FB=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
∵（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
∵BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0
∴FG₁=6，FG₂=-2（舍去）
∴AB=BG=4．
∴⊙O半径为2．
分析：（1）①易得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；进而可得比例关系式，再根据其中的相等关系可得BF=FD，即点F是BD中点；
②连接CB、OC，根据角的关系易得∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，进而可得∠OCF=90°，故可得CG是⊙O的切线；
（2）根据切割线定理可得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，解之即可的答案．
点评：本题考查切线的判定，线段等分关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．