Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点B为（3，4），BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，抛物线y=ax²+b+c经过点B、C，且顶点在x轴的正半轴，连接OB，点D是线段OB上的动点，过点D作DE∥OA交抛物线于点E（在对称轴右侧），过点E作EF⊥OB于点F，则△DEF周长的最大值为$\frac{81}{20}$．

Answer 1

分析 首先证明△DEF∽△OBA，得出当DE取最大值时，△DEF周长最大．再利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=$\frac{16}{9}$（x-$\frac{3}{2}$）²，即y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4．直线OB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x．设E（x，$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4），则D（$\frac{4}{3}$x²-4x+3，$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4），那么DE=x-（$\frac{4}{3}$x²-4x+3）=-$\frac{4}{3}$x²+5x-3，利用配方法求出x=$\frac{15}{8}$时，DE有最大值$\frac{27}{16}$，然后根据相似三角形对应周长的比等于相似比即可求解．

解答 解：∵DE∥OA，EF⊥OB，
∴∠EDF=∠BOA，∠DFE=∠OAB=90°，
∴△DEF∽△OBA，
∴当DE取最大值时，△DEF周长最大．
∵BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点B为（3，4），
∴四边形OABC为矩形，
∴点C（0，4），点A（3，0）．
∵抛物线y=ax²+b+c经过点B、C，且顶点在x轴的正半轴，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-$\frac{3}{2}$）²，
将C（0，4）代入，得4=$\frac{9}{4}$a，
解得a=$\frac{16}{9}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{16}{9}$（x-$\frac{3}{2}$）²，即y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4．
∵O（0，0），B（3，4），
∴直线OB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x．
设E（x，$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4），则D（$\frac{4}{3}$x²-4x+3，$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4），
∴DE=x-（$\frac{4}{3}$x²-4x+3）=-$\frac{4}{3}$x²+5x-3=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{15}{8}$）²+$\frac{27}{16}$，
∴x=$\frac{15}{8}$时，DE有最大值$\frac{27}{16}$，
∵$\frac{△DEF的周长}{△OBA的周长}$=$\frac{DE}{OB}$，
∴△DEF周长的最大值=$\frac{\frac{27}{16}}{5}$×（3+4+5）=$\frac{81}{20}$．
故答案为$\frac{81}{20}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．通过证明△DEF∽△OBA，得出当DE取最大值时，△DEF周长最大是解题的关键．