Question

如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：①AC=BD；②EF∥BD；③S_{四边形AECF}=AC•EF；④EF=；⑤连接FO，则FO∥AB．
正确的序号是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①③④
3. C.
   ②③⑤
4. D.
   ①②③④⑤

Answer 1

A
分析：根据等腰梯形的特点和对角线互相垂直的四边形的面积=对角线积的一半的知识来判断．
解答：①∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△ADB和△BCA中，
∵，
∴△ADB≌△BCA（SAS），
∴AC=DB，故此选项正确；
②∵CE⊥AB，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，
∴∠AEF=45°，EF⊥AC，
∴∠CAB=45°，由△ADB≌△BCA得到∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠AEF=45°那么EF∥BD，故此选项正确；
③∵AC⊥EF，
∴S_{四边形AECF}=×AC•EF，故此选项错误；
④易得BE=（7-3）÷2=2，CE=AE=7-2=5，作FM⊥AB于点M，
故CE：BE=FM：AM，
∵∠AEF=45°，
∴设FM=ME=x，
∴AM=5-x，
∴=，
解得：x=，
那么EF=，故此选项正确；
⑤∵∠OAB=∠OBA=∠GEA=45°，∠AGE=∠AOB=90°，
AB=7，AE=5，
∴AO=，AG==，
∴OG=OA-AG=-=，
FG=EF-GE=EF-AG=-，
易得OG≠FG，那么∠FOG≠45°，故此选项错误．
正确的序号是①②④．
故选：A．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，注意使用等腰梯形中的三角形全等，以及常用的辅助线方法，对角线互相垂直的四边形的面积=对角线积的一半等知识．