Question

AB∥CD，直线a交AB、CD分别于点E、F上，P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），且∠FMP=∠FPM．
（1）如图（1），当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM=______．
（2）如图（1），当点P在射线FC上移动时，则∠FPM与∠AEF的关系是______．
（3）如图（2），当点P在射线FD上移动时，∠FPM与∠AEF有什么关系？请说明你的理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，∠AEF=60°，
∴∠MFD=∠AEF=60°，
∵∠FMP=∠FPM，
∴在△PFM中，∠MFD=∠FMP+∠FPM=2∠FPM=60°，
解得∠FPM=30°；

（2）同（1），∠AEF=∠MFD=∠FMP+∠FPM=2∠FPM，
∴∠FPM=∠AEF；

（3）∠FPM与∠AEF的关系是：∠FPM=90°-∠AEF．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠MFD=∠AEF，
∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，
∴∠FMP+∠FPM=180°-∠MFP=180°-∠AEF，
∵∠FMP=∠FPM，
∴∠FMP=（180°-∠AEF）=90°-∠AEF．
分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠MFD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可；
（2）根据（1）的求解整理即可得解；
（3）根据两直线平行，内错角相等表示出∠MFD，然后根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，是基础题，难度不大．