Question

9．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE=$\frac{1}{2}$BC，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，直接写出当△ABC再满足AB=AC时，四边形ABFC为正方形．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB∥CD，AB=CD，得出∠BAE=∠EFC，由AAS证明△ABE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的对边相等得出AB=FC，由BE=CE，得出四边形ABFC为平行四边形，证出BC=AF，即可得出四边形ABFC是矩形；
（3）由等腰三角形的三线合一性质得出AE⊥BC，得出四边形ABFC是菱形，即可得出结论四边形ABFC为正方形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ABE≌△FCE，
∴BE=EC，AE=EF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
又∵AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC为矩形；

（3）当△ABC为等腰三角形时，即AB=AC时，四边形ABFC为正方形；
理由如下：
∵AB=AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABFC为平行四边形，
∴四边形ABFC是菱形，
又∵四边形ABFC是矩形，
∴四边形ABFC为正方形．
故答案为：AB=AC．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定方法、等腰三角形的性质；本题综合性强，难度适中，证明三角形全等和平行四边形是解决问题的关键．