Question

如图，抛物线y=ax²-3ax+b与x轴交于A和B（4，0），与y轴交于C点，并且OB=OC，点P为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若P为抛物线上位于第二象限上的一点，PH⊥x轴于H，交AC于Q点，当线段PQ最长时，求PQ：QH．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据OB=OC写出点C的坐标，然后代入抛物线求出a、b的值，即可得解；
（2）求出线段AC绕点A顺时针旋转90°后的对应点C′、绕点C逆时针旋转90°后的对应点A′的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC′、CA′的解析式，再分别与抛物线解析式联立求解即可；
（3）求出直线AC的解析式，然后表示出PQ，再根据二次函数的最值问题求出PQ的最大值，然后求出QH，再相比计算即可得解．

解答：解：（1）∵OB=OC，B（4，0），
∴点C的坐标为（0，4），
将点B（4，0），C（0，4）代入抛物线y=ax²-3ax+b得，

16a-12a+b=0 b=4

，
解得

a=-1 b=4

，
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4；

（2）令y=0，则-x²+3x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，点A的坐标为（-1，0），
如图，①线段AC绕点A顺时针旋转90°后的对应点C′（3，-1），
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
则

-k+b=0 3k+b=-1

，
解得

k=- 1 4 b=- 1 4

，
所以，直线AC′的解析式为y=-

1

4

x-

1

4

，
联立

y=-x2+3x+4 y=- 1 4 x- 1 4

，
解得

x1=-1 y1=0

，

x2= 17 4 y2=- 21 16

，
所以，点P的坐标为（

17

4

，-

21

16

），
②线段AC绕点C逆时针旋转90°后的对应点A′的坐标为（4，3），
设直线CA′的解析式为y=mx+n，
则

n=4 4m+n=3

，
解得

m=- 1 4 n=4

，
所以，直线CA′的解析式为y=-

1

4

x+4，
联立

y=- 1 4 x+4 y=-x2+3x+4

，
解得

x1=0 y1=4

，

x2= 13 4 y2= 51 16

，
所以，点P的坐标为（

13

4

，

51

16

），
综上所述，点P（

17

4

，-

21

16

）或（

13

4

，

51

16

）时，△ACP是以AC为直角边的直角三角形；

（3）设直线AC的解析式为y=ex+f，
将A（-1，0），C（0，4）代入得，

-e+f=0 f=4

，
解得

e=4 f=4

，
所以，直线AC的解析式为y=4x+4，
∵PH⊥x轴于H，
∴PQ=（-x²+3x+4）-（4x+4）=-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
∴当x=-

1

2

时，PQ有最大值

1

4

，
此时，QH=4×（-

1

2

）+4=-2+4=2，
∴PQ：QH=

1

4

：2=1：8．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）求出另一直角边所在的直线的解析式，（3）列式得到PQ的长度表达式．